Metode Penyelesaian Limit

A. Limit fungsi f(x) untuk x menuju nilai tertentu (x→a,a∈R)

1. Substitusi langsung pada fungsinya

Misalkan ingin diketahui hasil limit f(x) saat x mendekati c. Jika f(c) tidak tak terdefinisi atau tidak tak tentu atau tidak tak hingga, maka umumnya nilai limit f(x) saat x mendekati c adalah f(c). Cara ini diperoleh dengan memanfaatkan kekontinyuan fungsi di titik c.
Contoh
a)

Jika fungsi tidak kontinyu di c maka cara ini tidak bisa digunakan.
Contoh
a)

tidak bisa substitusi langsung karena untuk x=1 fungsi memuat bentuk tak tentu 0/0.

b) Diberikan

Tentukan

Jawab:
Dari fungsi jelas f(4)=0 tetapi

. Jadi tidak berlaku

walaupun f(4) ada yaitu 0 ini tidak bisa memakai cara substitusi langsung.

2. Menyederhanakan bentuk rasional

Cara ini diperoleh dengan membagi faktor yang sama pada pembilang dan penyebut.

Contoh
a)

3. Modifikasi bentuk k/0 dengan k ≠ 0.

Contoh

Bentuk ini memuat 2/0 dan 1/0 yaitu

meskipun begitu limitnya ada yaitu

4 Aturan L’Houpital untuk bentuk 0/0

Contoh
a)

Memuat bentuk 0/0 karena untuk x=4 karena

Dengan menggunakan aturan L’Houpital, pembilang dan penyebut diturunkan terhadap x (lihat turunan)

Memuat bentuk 0/0 untuk x=4 hanya pada suku

Gunakan aturan L’Houpital pada suku itu saja tidak perlu diterapkan pada yang lainnya.

B. Limit fungsi f(x) untuk x menuju tak hingga

1. Limit fungsi yang memuat bentuk ∞-∞

Untuk menyelesaikan limit yang memuat bentuk ∞-∞ dapat diselesaikan dengan mengalikan fungsi dengan fungsi pecahan dimana pembilang dan penyebutnya adalah sekawan (conjugate) fungsi tersebut.
Contoh
a)

2. Limit fungsi yang memuat bentuk ∞/∞

Untuk menentukan Limit fungsi yang memuat bentuk ∞/∞, bagi pembilang dan penyebut oleh pangkat tertinggi penyebut. Perlu diperhatikan polinomial yang memuat bentuk ∞/∞ ada tiga macam yaitu:
- Pangkat tertinggi variabel pembilang lebih tinggi dari pangkat tertinggi variabel penyebut, maka limitnya tak hingga.
Contoh

- Pangkat tertinggi variabel pembilang lebih rendah dari pangkat tertinggi variabel penyebut, maka limitnya 0.
Contoh

- Pangkat tertinggi variabel pembilang sama dengan pangkat tertinggi variabel penyebut, maka limitnya adalah hasil bagi koefisien variabel tertinggi pembilang dengan koefisien variabel tertinggi penyebut.
Contoh

limitnya adalah hasil bagi koefisien variabel tertinggi pembilang dengan koefisien variabel tertinggi penyebut.

Comments

Turunan Fungsi Implisit

Suatu persamaan $f(x,y)=0$ pada jangkauan terbatas dari variabel-variabel tertentu dikatakan mendefinisikan $y$ sebagai fungsi $x$ secara implisit. Contoh 1: a) Persamaan $xy+x-y-2=0$, dengan $x≠1$ mendefinisikan fungsi $y=\frac{(2-x)}{(x-1)}$. b) Persamaan $x^{2}+y^{2}-16=0$, mendefinisikan fungsi $y=\sqrt{16-x^{2}}$ jika $|x|≤4$ dan $y≥0$, dan fungsi $y=-\sqrt{16-x^{2}}$ jika $|x|≤4$ dan $y≤0$. Perhatikan, lingkarannya harus dianggap terdiri dari dua busur yang bertemu di $(-4,0)$ dan $(4,0)$. Untuk mendapatkan turunan fungsi implisit caranya turunkan kedua ruas terhadap $x$. Contoh 2 . Cari $y’$ dan $y’’$ pada contoh 1.a. Berapa $y’$ di $x=2$ dan $y’’$ di $x=3$? Solusi: Mencari $y’$ Mencari $y’’$ Contoh 3 . Cari $y’$ dan $y’’$ pada contoh 1.b. Berapa $y’$ di $x=3$ dan $y’’$ di $x=3$? Iklan. semoga Anda tertarik Solusi: Mencari $y’$ Mencari $y’’$

Contoh Soal integral parsial kuliah

Jika $u$ dan $v$ adalah fungsi $x$ yang dapat dideferensiasi, maka Untuk dapat menggunakan rumus integral parsial (sebagian), integral yang diberikan harus dipisahkan menjadi dua bagian, satu bagian adalah $u$ dan bagian lainnya yang memuat $dx$ adalah $dv$. Aturan umum integral parsial adalah sbb: a) Bagian yang dipilih sebagai $dv$ harus dapat segera diintegralkan. b) $∫vdu$ harus lebih mudah dari $∫udv$ Contoh-1 . cari $\int{x^{3}e^{x^{2}}}dx$ Ambil $u=x^2$-->$du=2xdx$, dan $dv=xe^{x^{2}}dx$-->$v=\int{xe^{x^{2}}}dx=\frac{1}{2}e^{x^{2}}$ dengan aturan integral parsial maka Cara lain Contoh-2 . cari $\int_{0}^{5}{x\ln(x+4)}dx$ Ambil $u=\ln(x+4)$-->$du=\frac{dx}{x+4}$, dan $dv=xdx$-->$v=\int{xdx=\frac{1}{2}x^2}$ dengan aturan integral parsial maka Integral tentu yang ditanyakan adalah: Rumus-rumus Reduksi Integral Parsial Langkah-langkah yang rumit dalam penyelesaian integral parsial dapat dikurangi dengan rumus reduksi. Rumus reduksi dapat menghasilkan in

Limit Fungsi

Misalkan diberikan fungsi f(𝑥) = 𝑥². Amati nilai f(𝑥) pada sumbu y bila 𝑥 mendekati 2 pada sumbu x. pada saat itu perhatikan bahwa f(𝑥) mendekati suatu nilai tertentu. Fokus perhatian kita adalah pada sumbu y, bukan pada f(𝑥) = 𝑥². perlu diketahui pula bahwa mendekati 2 pada contoh ini adalah mendekati dari kiri dan kanan karena fungsi terdefinisi di 𝑥 < 2 dan 𝑥 > 2. Mencermati ilustrasi tersebut adalah wajar bila kita simpulkan f(𝑥) mendekati 4 jika 𝑥 mendekati 2, dengan kata lain 4 adalah limit atau batas untuk f(𝑥) saat 𝑥 mendekati 2 . Nilai 4 yang didekati oleh f(𝑥) saat 𝑥 mendekati 2 tak ada kaitannya dengan nilai f(2)=4. Bahkan seandainya f(2) tidak terdefinisi, f(𝑥) tetap mendekati 4 saat 𝑥 mendekati 2. Hal ini dalam matematika ditulis dalam bentuk simbolis sebagai Definisi formal limit Misalkan f(𝑥) didefinisikan dan bernilai tunggal untuk semua nilai 𝑥 di dekat 𝑥 = a dengan pengecualian yang mungki

Kuliah Matematika

Search This Blog