Turunan Fungsi

Pertambahan suatu variabel 𝑥 dilambangkan dengan ∆𝑥 adalah perubahan dalam 𝑥  bila 𝑥  membesar atau mengecil dari suatu nilai awal 𝑥 = 𝑥₀ menjadi nilai berikutnya 𝑥 = 𝑥₁ pada jangkauannya, dalam hal ini ∆𝑥 = 𝑥₁ - 𝑥₀. 

Bila variabel 𝑥 diberi pertambahan sebesar ∆𝑥, maka suatu fungsi y = f(𝑥) juga akan menerima perubahan dalam y sebesar 

Hasil bagi 

disebut laju perubahan rata-rata fungsi pada selang 𝑥 = 𝑥₀ dan 𝑥 = 𝑥₁= 𝑥₀ + ∆𝑥. 

Turunan 

Turunan atau derivative suatu fungsi y = f(𝑥) di titik 𝑥 = 𝑥₀ adalah limit laju perubahan rata-rata fungsi saat ∆𝑥 mendekati nol tetapi tidak nol dan didefinisikan sebagai 

Asalkan limitnya ada. 

Contoh 1. Cari turunan y = f(𝑥) = 𝑥² +1 pada 𝑥 = 𝑥₀. Hitung nilai turunan pada 

a) 𝑥₀ = 2, 

b) 𝑥₀ = 3. 

Jawab: 

a) di 𝑥₀ = 2 nilai turunan adalah 2.2 = 4. 

b) di 𝑥₀ = 3 nilai turunan adalah 2.3 = 6 

Dalam mencari turunan suatu fungsi, indeks 0 biasanya dihilangkan dan turunan y = f(𝑥) terhadap 𝑥 dituliskan dengan

Beberapa notasi lain yang sering digunakan untuk turunan antara lain 

Contoh 2. Cari dy/d𝑥 jika y = 𝑥³ + 𝑥² -5. Berapa nilai dy/d𝑥 di 𝑥 = 4, 𝑥= 0, dan 𝑥 = -1 ?

Jawab:

Notasi untuk dy/d𝑥 di 𝑥 = a bisa ditulis sebagai 

jadi 

Contoh 3. Cari y’ jika y = (𝑥-1)/(𝑥+1). Berapa nilai  y’ di 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, dan 𝑥 = -1 ?

Jawab:

y’ di 𝑥 = 0 adalah y′(0)=2(0+1)2=2
y’ di 𝑥 = 1 adalah y′(1)=2(1+1)2=12 
y’ di 𝑥 = -1 tidak ada