Integral Substitusi dan Substitusi Efektif

Teknik integral substitusi efektif adalah teknik pengintegralan dengan mengubah bentuk fungsi integran yang tidak lazim menjadi bentuk integran yang umum yaitu bentuk-bentuk yang ada dalam rumus-rumus dasar integral.

Substitusi ini tidak memiliki aturan khusus namun sering dapat ditebak dari bentuk fungsi integrannya mengacu pada rumus-rumus dasar integrasi. Umumnya, substitusi ini berbentuk integral substitusi aljabar.

Banyak langkah substitusi bisa beragam mulai dari satu kali, dua kali, tiga kali, dan mungkin bisa lebih dari itu. Atas dasar itu, substitusi efektif tidak dapat diartikan sebagai substitusi yang sekaligus mengubah fungsi integran menjadi lebih mudah, namun ketepatan dalam menukar variabel.

1. Substitusi Satu kali

Berikut adalah contoh-contoh substitusi satu kali.

Contoh-1. cari $\int{3x\sin(x^2)dx}$

Ambil $x^2=u$-->$2xdx=du$-->$xdx=\frac{du}{2}$

Contoh-2. cari $\int{6x^2\sqrt{4-x^3}dx}$

Ambil $4-x^3=u$-->$-3x^2dx=du$-->$x^2dx=-\frac{du}{3}$

Contoh-3. cari $\int{x^5\sqrt{5+x^3}dx}$

Ambil $5+x^3=u^2$-->$x^3=u^2-5$-->$3x^2dx=2udu$

2. Substitusi Dua kali

Berikut adalah contoh substitusi dua kali.

Contoh-4. cari $\int{\frac{\sqrt{5x+x^2}dx}{x^4}}$

Ambil $x=1/u$-->$dx=-u^{-2}du$

Ambil $5u+1=v^2$-->$du=\frac{2vdv}{5}$

3. Substitusi Tiga kali

Berikut adalah contoh substitusi tiga kali.

Contoh-5. cari $\int{\frac{\sqrt{-9+16x-x^2}dx}{3(x-1)^4}}$

Ambil $x-1=u$-->$dx=du$

Ambil $u=\frac{1}{v}$-->$du=-\frac{dv}{v^2}$

Ambil $2v-7=w^2$-->$dv=wdw$

Comments

Contoh Soal integral parsial kuliah

Jika $u$ dan $v$ adalah fungsi $x$ yang dapat dideferensiasi, maka Untuk dapat menggunakan rumus integral parsial (sebagian), integral yang diberikan harus dipisahkan menjadi dua bagian, satu bagian adalah $u$ dan bagian lainnya yang memuat $dx$ adalah $dv$. Aturan umum integral parsial adalah sbb: a) Bagian yang dipilih sebagai $dv$ harus dapat segera diintegralkan. b) $∫vdu$ harus lebih mudah dari $∫udv$ Contoh-1 . cari $\int{x^{3}e^{x^{2}}}dx$ Ambil $u=x^2$-->$du=2xdx$, dan $dv=xe^{x^{2}}dx$-->$v=\int{xe^{x^{2}}}dx=\frac{1}{2}e^{x^{2}}$ dengan aturan integral parsial maka Cara lain Contoh-2 . cari $\int_{0}^{5}{x\ln(x+4)}dx$ Ambil $u=\ln(x+4)$-->$du=\frac{dx}{x+4}$, dan $dv=xdx$-->$v=\int{xdx=\frac{1}{2}x^2}$ dengan aturan integral parsial maka Integral tentu yang ditanyakan adalah: Rumus-rumus Reduksi Integral Parsial Langkah-langkah yang rumit dalam penyelesaian integral parsial dapat dikurang...

Turunan Fungsi Implisit

Suatu persamaan $f(x,y)=0$ pada jangkauan terbatas dari variabel-variabel tertentu dikatakan mendefinisikan $y$ sebagai fungsi $x$ secara implisit. Contoh 1: a) Persamaan $xy+x-y-2=0$, dengan $x≠1$ mendefinisikan fungsi $y=\frac{(2-x)}{(x-1)}$. b) Persamaan $x^{2}+y^{2}-16=0$, mendefinisikan fungsi $y=\sqrt{16-x^{2}}$ jika $|x|≤4$ dan $y≥0$, dan fungsi $y=-\sqrt{16-x^{2}}$ jika $|x|≤4$ dan $y≤0$. Perhatikan, lingkarannya harus dianggap terdiri dari dua busur yang bertemu di $(-4,0)$ dan $(4,0)$. Untuk mendapatkan turunan fungsi implisit caranya turunkan kedua ruas terhadap $x$. Contoh 2 . Cari $y’$ dan $y’’$ pada contoh 1.a. Berapa $y’$ di $x=2$ dan $y’’$ di $x=3$? Solusi: Mencari $y’$ Mencari $y’’$ Contoh 3 . Cari $y’$ dan $y’’$ pada contoh 1.b. Berapa $y’$ di $x=3$ dan $y’’$ di $x=3$? Iklan. semoga Anda tertarik Solusi: Mencari $y’$ Mencari $y’...

Turunan Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar adalah fungsi yang paling sering ditemui dalam permasalahan matematika yang meliputi fungsi rasional, linear, kuadrat, kubik dan seterusnya. Suatu fungsi aljabar (bidang) adalah fungsi yang persamaannya dapat ditulis sebagai Dengan $u_{n}(x)$ adalah suatu polinomial dalam $x$. Contoh. fungsi kuadrat $y = x^{2} – 10x+25$. Dari fungsi ini maka didapat $n=2, a=0, b=0, c=1, d=-1, e=10, f=-25$, dan $u_{3}(x)=u_{4}(x)=…=u_{n}(x)=0$. Turunan fungsi aljabar dapat diperoleh dengan menerapkan definisi turunan fungsi pada fungsi-fungsi aljabar. Suatu fungsi aljabar (begitu juga fungsi transenden misalnya fungsi trigonometri) dapat diturunkan di $x = a $ jika fungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut. Suatu fungsi aljabar dapat diturunkan pada suatu selang jika fungsi itu mempunyai turunan di setiap titik pada selang tersebut. 1. Turunan fungsi konstan Misalkan $y =f(x) = c$, dengan $c$ sebuah konstanta sembarang maka Bukti Contoh 2...

Kuliah Matematika

Search This Blog