Kuliah Matematika

Pertambahan suatu variabel  𝑥   dilambangkan dengan ∆ 𝑥  adalah perubahan dalam  𝑥    bila  𝑥    membesar atau mengecil dari suatu nilai awal 𝑥 =  𝑥₀  menjadi nilai berikutnya  𝑥  =  𝑥₁  pada jangkauannya, d alam hal ini ∆ 𝑥  =  𝑥₁ -  𝑥₀ .  Bila variabel  𝑥  diberi pertambahan sebesar ∆ 𝑥 , maka suatu fungsi y = f( 𝑥 ) juga akan menerima perubahan dalam y sebesar  Hasil bagi  disebut laju perubahan rata-rata fungsi pada selang  𝑥  =  𝑥₀  dan  𝑥  =  𝑥₁ =  𝑥₀  + ∆ 𝑥 .  Turunan  Turunan atau derivative suatu fungsi y = f( 𝑥 ) di titik  𝑥  =  𝑥₀  adalah limit laju perubahan rata-rata fungsi saat ∆ 𝑥  mendekati nol tetapi tidak nol dan didefinisikan sebagai  Asalkan limitnya ada.  Contoh 1. Cari turunan y = f( 𝑥 ) =  𝑥²  +1 pada  𝑥  =  𝑥₀ . Hitung nilai turunan pada  a)  𝑥₀  = 2,  b)  𝑥₀  = 3.  Jawab:  a) di  𝑥₀  = 2 nilai turunan adalah 2.2 = 4.  b) di  𝑥₀  = 3 nilai turunan adalah 2.3 =

A. Limit fungsi f(x) untuk x menuju nilai tertentu (x→a,a∈R)  1. Substitusi langsung pada fungsinya  Misalkan ingin diketahui hasil limit f(x) saat x mendekati c. Jika f(c) tidak tak terdefinisi atau tidak tak tentu atau tidak tak hingga, maka umumnya nilai limit f(x) saat x mendekati c adalah f(c). Cara ini diperoleh dengan memanfaatkan kekontinyuan fungsi di titik c. Contoh a) b) Jika fungsi tidak kontinyu di c maka cara ini tidak bisa digunakan. Contoh a) tidak bisa substitusi langsung karena untuk x=1 fungsi memuat bentuk tak tentu 0/0. b) Diberikan Tentukan Jawab: Dari fungsi jelas f(4)=0 tetapi . Jadi tidak berlaku walaupun f(4) ada yaitu 0 ini tidak bisa memakai cara substitusi langsung. 2. Menyederhanakan bentuk rasional  Cara ini diperoleh dengan membagi faktor yang sama pada pembilang dan penyebut. Contoh a) b) 3.  Modifikasi bentuk k/0 dengan k ≠ 0.  Contoh Bentuk ini memuat 2/0 dan 1/0 yaitu meski

Misalkan diberikan fungsi  f(𝑥) = 𝑥². Amati nilai f(𝑥) pada sumbu y bila 𝑥 mendekati 2 pada sumbu x. pada saat itu perhatikan bahwa f(𝑥) mendekati suatu nilai tertentu.  Fokus perhatian kita adalah pada sumbu y, bukan pada f(𝑥) = 𝑥². perlu diketahui pula bahwa mendekati 2 pada contoh ini adalah mendekati dari kiri dan kanan karena fungsi terdefinisi di 𝑥 < 2 dan 𝑥 > 2.    Mencermati ilustrasi tersebut adalah wajar bila kita simpulkan f(𝑥) mendekati 4 jika 𝑥 mendekati 2, dengan kata lain 4 adalah limit atau batas untuk f(𝑥) saat 𝑥 mendekati 2 . Nilai 4 yang didekati oleh f(𝑥) saat 𝑥 mendekati 2  tak ada kaitannya dengan nilai f(2)=4. Bahkan seandainya f(2) tidak terdefinisi, f(𝑥) tetap mendekati 4 saat 𝑥 mendekati 2. Hal ini dalam matematika ditulis dalam bentuk simbolis sebagai Definisi formal limit Misalkan f(𝑥) didefinisikan dan bernilai tunggal untuk semua nilai 𝑥 di dekat 𝑥 = a dengan pengecualian yang mungki